Numero Complejo

Número complejo.- es la expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es

Los números complejos se denotan por la letra: Z

Estos números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.

PROPIEDADES.

En un número complejo a + bi.
a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria.

Ejemplo:

El número complejo -2 + 3i.
Tiene parte real -2 y parte imaginaria 3.

LA ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS.

Se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado.

Por ejemplo:

Para sumar 1 + 4i y 2 - 2i.

1ero Se suman las partes reales 1 + 2.

Y a continuación las partes imaginarias 4 + (-2).

El resultado es el número complejo 3 + 2i.

La regla general para la adición es: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

La multiplicación de números complejos se basa en que i · i = -1, y en asumir que esta operación es distributiva respecto de la adición.

Esto genera la siguiente regla para la multiplicación: (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que (1 + 4i)·(2 - 2i) = 10 + 6i

Existen muchas ecuaciones polinómicas que no tienen soluciones reales, como

Sin embargo, si se permite que x sea compleja, la ecuación tiene como soluciones x = ±i, donde i y -i son las raíces del polinomio . La ecuación tiene como soluciones x = 1 ± i.

El gran logro de Gauss fue demostrar que todo polinomio no trivial (es decir, que tiene al menos una raíz distinta de cero) con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. De aquí se deduce que todo polinomio complejo de grado n tiene exactamente n raíces, no necesariamente distintas. Por tanto, todo polinomio complejo de grado n se puede escribir como producto de n factores lineales complejos.

Aplicaciones.

En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión