Fórmulas y Aplicaciones

Sistemas de Coordenadas Cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto 0 de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.

Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas cuadrantes. Estas cuadrantes son numeradas en forma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:

Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números llamado par ordenado.

El primer numero del par, que se llama la abcisa; está en la recta horizontal, el eje de x.

El segundo numero del par se llama la ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.
(1 , 4)
Abcisa Eje de x Ordenada eje de y

Los numeros negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:

El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:

y = 4x + 8

y = x2 + 2x + 5

3y = 5x + 8

Digamos que queremos hacer la gráfica la ecuación lineal y = 3x + 7 . Hay que asignar valores a la x y resolverlo para encontrar el valor de y.

Ej. Encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x , los valores de -2, -1, 0, 1 y 2

Y = 3x + 7

Y = 3(-2) + 7 [Cuando la x es -2, la y es 1]

Y = -6 + 7

Y = 1

Y = 3x + 7

Y = 3(-1) + 7 [Cuando la x es -1, la y es 4]

Y = -3 + 7

Y =4

Y = 3x + 7

Y = 3(0) + 7 [Cuando la x es 0, la y es 7]

Y = 0 + 7

Y = 7

Y = 3x + 7
Y=3(1) + 7
Y= 3 + 7
Y = 10 [Cuando la x es 1, la y es 10]
Y = 3x + 7
Y= 3(2) + 7
Y= 6 + 7
Y = 13 [Cuando la x es 2, la y es 13]



Y asi se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x.

En el caso de está ecuacion lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.

Veamos como queda la gráfica de la ecuación y = 3x + 7.

Para verificar que un punto sea solucion de la ecuación hay que hacer lo siguiente:

1. Sustituir la abcisa por x.

2. Sustituir la ordenada por la y. ( siempre recordar la forma {x,y} )

3. Resolver la ecuación.

4. Si resulta ser igualdad, entonces el punto es solucion de la ecuación.

Ejemplo 1 : ¿ Es ( 3,11) una solucion a la ecuación y = 2x + 5?
Y = 2x + 5

11 = 2(3) + 5 ( Sustituir los puntos por x y y)

11 = 6 + 5 Resolver

11 = 11 Hay igualdad
Quiere decir que el punto (3,11) es una solucion a la ecuación.

Ejemplo 2: ¿ Es (2,8) una solucion de la ecuación y = 2x + 5?

y= 2x + 5 8 = 2(2) + 5 Se sustituyo la x y la y

8 = 4 + 5 Resolver

8 = 9 FALSO, no es solucion
El punto (2,8) no es solucion.

Interceptos, pendiente y ecuación de la recta

Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:

y = mx + b

Donde m es la pendiente y la b es el intercepto en y.

El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x.

Si la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en y seria: (0,-6)

Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 3x + -5.

Solucion: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)

Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x.

Solucion: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a

y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

Ejemplo 3: Buscar el intercepto en y de la ecuación 3y = 18x + 24

Solucion: El intercepto en y no es 24, hay que fijarse bien que la ecuación no esta en su forma

y = mx + b, hay que despejar de la siguiente manera:

y = 6x + 8 Ahora, esta en su forma y = mx + b. El intercepto en y es (0,8)

La Pendiente

La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1,y1), (x2,y2),que están en una recta L, la inclinación o la pendiente m de la recta de determina mediante

La pendiente es la la razon de cambios de x y y. . Esta puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta indefinida.

Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)

La pendiente es 2.

A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.

Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).

La pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el intercepto en y. En este caso, ya está dado por (0,9)
Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:
y = -4x + 9

Nota: Para buscar el intercepto en y, hay que siempre fijarse que la ecuación este en su forma
y = mx + b.

Si no lo esta, hay que expresarla respecto a y.

Ejemplo:

9x - 3y = 12 No esta en la forma y = mx + b
-3y = -9x + 12 Dejar la y sola, pasar el 9x opuesto

y = 3x - 4

Ya esta en su forma y = mx + b, y su intercepto en y es -4.

Tambien se puede conseguir el intercepto en y , sustituyendo la x = 0.

Intercepto de x

Para buscar el intercepto en x, se sustituye la y por 0 en la ecuación.

Ejemplo: y = 9x + 5 0 = 9x + 5 -9x = 5
-9x = 5
-9 -9
x = -5/9
El intercepto en y es (-5/9, 0)

Forma punto - pendiente

Hay otra manera para buscar una ecuación lineal, cuando se conoce un punto y la pendiente, utilizando la fórmula punto - pendiente:

y - y1 = m (x -x1)

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-7) y tiene pendiente de 8.

m= 8

y - y1 = m (x - x1) y - (-7) = 8(x -3) se sustituyó

y + 7 = 8x - 24 Propiedad distributiva

y = 8x - 24 -7 Se resuelve hasta dejarlo en y=mx+b

y = 8x - 31

Ecuaciones Cuadráticas

Qué es una ecuación cuadrática

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2x2 - 3x = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la x, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

1.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente

El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado:

hasta que la x quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:

La fórmula genera dos respuestas: una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz.

Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.

Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma más fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.

2.- Tipos de soluciones: Reales e imaginarias

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:

Dos raíces reales distintas
Una raíz real (o dos raíces iguales)
Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante d como:

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.

Ejemplos:

Verificación de las soluciones

A continuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados.

2.1.- resolver:

Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:

Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:

Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense x1 y x2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verificación.

Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando x = -2/5, reemplazando el valor en la ecuación se tiene

Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de

2.2.- resolver:

No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada.
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:

Ahora se identifican letras: a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente:

Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que :

6 x 3 - 32 = 18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

2.3.- resolver:

Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: identificando letras: a = 1 ; b = -6 ;c = 13. Aplicando la resolvente se tiene:

El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada de un número negativo porque este es un resultado que pertenece a los números complejos, la raíz de -16 es 4i, siendo i la base de los números complejos o imaginarios, es decir: . Las raíces quedan entonces:

Separando las dos respuestas, las soluciones serán:

Numero Complejo

Número complejo.- es la expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es

Los números complejos se denotan por la letra: Z

Estos números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas.

PROPIEDADES.

En un número complejo a + bi.
a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria.

Ejemplo:

El número complejo -2 + 3i.
Tiene parte real -2 y parte imaginaria 3.

LA ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS.

Se realiza sumando las partes reales e imaginarias por separado.

Por ejemplo:

Para sumar 1 + 4i y 2 - 2i.

1ero Se suman las partes reales 1 + 2.

Y a continuación las partes imaginarias 4 + (-2).

El resultado es el número complejo 3 + 2i.

La regla general para la adición es: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

La multiplicación de números complejos se basa en que i · i = -1, y en asumir que esta operación es distributiva respecto de la adición.

Esto genera la siguiente regla para la multiplicación: (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que (1 + 4i)·(2 - 2i) = 10 + 6i

Existen muchas ecuaciones polinómicas que no tienen soluciones reales, como

Sin embargo, si se permite que x sea compleja, la ecuación tiene como soluciones x = ±i, donde i y -i son las raíces del polinomio . La ecuación tiene como soluciones x = 1 ± i.

El gran logro de Gauss fue demostrar que todo polinomio no trivial (es decir, que tiene al menos una raíz distinta de cero) con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. De aquí se deduce que todo polinomio complejo de grado n tiene exactamente n raíces, no necesariamente distintas. Por tanto, todo polinomio complejo de grado n se puede escribir como producto de n factores lineales complejos.

Aplicaciones.

En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión

INECUACIONES LINEALES.

Concepto.- Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que sólo se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones.

PROPIEDADES CON DESIGUALDADES.

· Si a los dos miembros de una desigualdad les sumamos o restamos un mismo número la desigualdad se mantiene.

· Si a los dos miembros de una desigualdad les multiplicamos o dividimos por un
mismo número, la desigualdad:
1. si el nº es positivo se mantiene:

3 <>

3(2)<5(2)>

6 <10>

2. si el nùmero es negativo, se invierte :

3<5

3(-2)>5(-2)

-6>-10

· Si elevamos los dos miembros de una desigualdad a un mismo
- Exponente impar la desigualdad se mantiene.
- Exponente par
· Si los términos son positivos la desigualdad se mantiene.
· Si los términos son negativos la desigualdad se invierte.
· Si uno es positivo y otro negativo depende de los valores
absolutos.

(Exponente impar):

(Exponente par):

términos positivos:

términos negativos:

términos de distinto signo:

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO.

Son de la forma a x + b <0>

Ejemplo:

Interpretación geométrica.

La solución de una inecuación de primer grado representa aquellos valores de x que hacen que la función y = ax + b quede por encima del eje x (o por encima y sobre el propio eje x, o por debajo del eje x, o por debajo y sobre el propio eje x).

Como podemos observar en las siguientes graficas:

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Presentan la forma ( ó £0 ó <0>

Para resolverlas se obtienen las raíces del trinomio de 2º grado , y se estudía que intervalo/s de los obtenidos cumplen la inecuación, teniendo en cuenta que los intervalos externos tienen el signo de a y el intervalo interno signo contrario al de a. También se pueden resolver por factorización, obteniendo la solución de cada factor, calculando posteriormente la intersección de las soluciones.

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR.

Se descomponen en factores de primer o segundo grado.
Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas.
Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados.
En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.
Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.

INECUACIONES FRACCIONARIAS.

Se obtienen por separado los ceros del numerador y denominador.
Se representan en sendas rectas.
En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos.
Se ve cuales de los intervalos formados son solución.
Los ceros del denominador nunca forman parte de la solución, al no estar
definida la división entre cero.


INECUACIONES CUADRATICAS.

Definición.- Sean a, b, c constantes reales tales que a ≠ 0. Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma y el otro miembro es cero.

Son inecuaciones cuadráticas:

Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.
Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común denominador.
Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

Ecuaciones identidades.

Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto. Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad.

por ejemplo:

es una identidad.

Ecuación Lineal:

Ecuación: igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad.

Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.

Por ejemplo:

1.Una Ecuación Con Una Incógnita.

3x – 7 = x + 1.

Tiene una única solución: x = 4.

2. Una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

3. Una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones.

2x + 3y = 15

Las soluciones son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

NOTA.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

Clasificación

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

a) Por el número de incógnitas.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y

tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

b) Por el grado de la incógnita.

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita). Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0

Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones: x1 + x2 + ... + xn = -a1 x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3 x1x2...xn = (-1)nan Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.

c) Por el número de términos

1) Ecuaciones binómicas:

Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.

2). Ecuaciones polinómicas:

Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

¿ Cómo se resuelven las ecuaciones?

Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dio una demostración rigurosa.

a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita

Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver.

Pasos para resolver las ecuaciones.

1. Basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual.

2. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax =-b

-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.

PARA RESOLVER LA ECUACIÓN SEGUIREMOS EL SIGUIENTE ORDEN.

1º Quitar denominadores

3(2x-3)-2(5x-1)=6

Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.

2º Quitar paréntesis

Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva. Quitando paréntesis queda:

6x-9 –10x+2=6

3º Transposición de términos

Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro. Transponiendo términos queda:

6x –10x = 9 - 2 + 6

4º Reducción de términos semejantes

De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término: -4x = 13

5º. Despejar la incógnita

Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a =0)

Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.

b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula general: Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a.