Ecuaciones Cuadráticas

Qué es una ecuación cuadrática

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2x2 - 3x = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la x, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.

1.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula resolvente

El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado:

hasta que la x quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:

La fórmula genera dos respuestas: una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz.

Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.

Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.

Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma más fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.

2.- Tipos de soluciones: Reales e imaginarias

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:

Dos raíces reales distintas
Una raíz real (o dos raíces iguales)
Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante d como:

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas.

Ejemplos:

Verificación de las soluciones

A continuación se resolverán algunos ejemplos que mostrarán todos los casos posibles ya mencionados.

2.1.- resolver:

Se identifican las letras, cuidando de que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condición tenemos: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Se aplica la fórmula:

Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:

Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense x1 y x2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verificación.

Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.
Probando x = -2/5, reemplazando el valor en la ecuación se tiene

Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de

2.2.- resolver:

No pueden identificarse las letras directamente, ya que la ecuación está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma deseada.
Trasponiendo y cambiando de lugar resulta:

Ahora se identifican letras: a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente:

Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que :

6 x 3 - 32 = 18 - 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta.

2.3.- resolver:

Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: identificando letras: a = 1 ; b = -6 ;c = 13. Aplicando la resolvente se tiene:

El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada de un número negativo porque este es un resultado que pertenece a los números complejos, la raíz de -16 es 4i, siendo i la base de los números complejos o imaginarios, es decir: . Las raíces quedan entonces:

Separando las dos respuestas, las soluciones serán: