Fórmulas y Aplicaciones

Sistemas de Coordenadas Cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas es formado por dos rectas; una horizontal y otra vertical, en el cual ambos se intersecan en el punto 0 de cada recta. Las dos rectas son llamados ejes.

Estos dos ejes dividen el plano cartesiano en 4 secciones llamadas cuadrantes. Estas cuadrantes son numeradas en forma “contra el reloj” del I al IV de la siguiente forma:

Cada punto en el plano se puede identificar por un par de números llamado par ordenado.

El primer numero del par, que se llama la abcisa; está en la recta horizontal, el eje de x.

El segundo numero del par se llama la ordenada que se encuentra en la recta vertical, el eje de y.
(1 , 4)
Abcisa Eje de x Ordenada eje de y

Los numeros negativos y positivos se colocan de la siguiente manera:

El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como:

y = 4x + 8

y = x2 + 2x + 5

3y = 5x + 8

Digamos que queremos hacer la gráfica la ecuación lineal y = 3x + 7 . Hay que asignar valores a la x y resolverlo para encontrar el valor de y.

Ej. Encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x , los valores de -2, -1, 0, 1 y 2

Y = 3x + 7

Y = 3(-2) + 7 [Cuando la x es -2, la y es 1]

Y = -6 + 7

Y = 1

Y = 3x + 7

Y = 3(-1) + 7 [Cuando la x es -1, la y es 4]

Y = -3 + 7

Y =4

Y = 3x + 7

Y = 3(0) + 7 [Cuando la x es 0, la y es 7]

Y = 0 + 7

Y = 7

Y = 3x + 7
Y=3(1) + 7
Y= 3 + 7
Y = 10 [Cuando la x es 1, la y es 10]
Y = 3x + 7
Y= 3(2) + 7
Y= 6 + 7
Y = 13 [Cuando la x es 2, la y es 13]



Y asi se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x.

En el caso de está ecuacion lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio.

Veamos como queda la gráfica de la ecuación y = 3x + 7.

Para verificar que un punto sea solucion de la ecuación hay que hacer lo siguiente:

1. Sustituir la abcisa por x.

2. Sustituir la ordenada por la y. ( siempre recordar la forma {x,y} )

3. Resolver la ecuación.

4. Si resulta ser igualdad, entonces el punto es solucion de la ecuación.

Ejemplo 1 : ¿ Es ( 3,11) una solucion a la ecuación y = 2x + 5?
Y = 2x + 5

11 = 2(3) + 5 ( Sustituir los puntos por x y y)

11 = 6 + 5 Resolver

11 = 11 Hay igualdad
Quiere decir que el punto (3,11) es una solucion a la ecuación.

Ejemplo 2: ¿ Es (2,8) una solucion de la ecuación y = 2x + 5?

y= 2x + 5 8 = 2(2) + 5 Se sustituyo la x y la y

8 = 4 + 5 Resolver

8 = 9 FALSO, no es solucion
El punto (2,8) no es solucion.

Interceptos, pendiente y ecuación de la recta

Las ecuaciones lineales son siempre de la forma:

y = mx + b

Donde m es la pendiente y la b es el intercepto en y.

El intercepto en y esta expresada por: (0,b) y es donde la recta corta el eje de y El intercepto en x esta expresada por: (a,0) y es donde la recta corta el eje de x.

Si la ecuación es y = 2x + -6, el intercepto en y seria: (0,-6)

Ejemplo 1: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 3x + -5.

Solucion: En este caso, la b es -5; quiere decir que el intercepto en y es (0, -5)

Ejemplo 2: Buscar el intercepto en y de la ecuación y = 4x.

Solucion: En este caso, la b no está presente en la ecuación, pero la ecuación y = 4x equivale a

y = 4x + 0. Por lo tanto, el intercepto en y es (0, 0).

Ejemplo 3: Buscar el intercepto en y de la ecuación 3y = 18x + 24

Solucion: El intercepto en y no es 24, hay que fijarse bien que la ecuación no esta en su forma

y = mx + b, hay que despejar de la siguiente manera:

y = 6x + 8 Ahora, esta en su forma y = mx + b. El intercepto en y es (0,8)

La Pendiente

La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1,y1), (x2,y2),que están en una recta L, la inclinación o la pendiente m de la recta de determina mediante

La pendiente es la la razon de cambios de x y y. . Esta puede ser positiva, negativa, puede ser 0 y en algunos casos, la pendiente esta indefinida.

Ejemplo1: Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)

La pendiente es 2.

A veces, tenemos dos puntos, y queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.

Primero, hay que determinar la pendiente de la recta, y para hallar la ecuación, utilizamos la ecuación y = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto de b.

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,5) y (0,9).

La pendiente es -4. Ahora, hay que buscar el intercepto en y. En este caso, ya está dado por (0,9)
Si la pendiente es -4, y el intercepto (0,9) entonces la ecuación es:
y = -4x + 9

Nota: Para buscar el intercepto en y, hay que siempre fijarse que la ecuación este en su forma
y = mx + b.

Si no lo esta, hay que expresarla respecto a y.

Ejemplo:

9x - 3y = 12 No esta en la forma y = mx + b
-3y = -9x + 12 Dejar la y sola, pasar el 9x opuesto

y = 3x - 4

Ya esta en su forma y = mx + b, y su intercepto en y es -4.

Tambien se puede conseguir el intercepto en y , sustituyendo la x = 0.

Intercepto de x

Para buscar el intercepto en x, se sustituye la y por 0 en la ecuación.

Ejemplo: y = 9x + 5 0 = 9x + 5 -9x = 5
-9x = 5
-9 -9
x = -5/9
El intercepto en y es (-5/9, 0)

Forma punto - pendiente

Hay otra manera para buscar una ecuación lineal, cuando se conoce un punto y la pendiente, utilizando la fórmula punto - pendiente:

y - y1 = m (x -x1)

Ejemplo: Buscar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-7) y tiene pendiente de 8.

m= 8

y - y1 = m (x - x1) y - (-7) = 8(x -3) se sustituyó

y + 7 = 8x - 24 Propiedad distributiva

y = 8x - 24 -7 Se resuelve hasta dejarlo en y=mx+b

y = 8x - 31