Ecuaciones identidades.

Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto. Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad.

por ejemplo:

es una identidad.

Ecuación Lineal:

Ecuación: igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas. Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se llama solución de una ecuación a un valor de la incógnita, o a un conjunto de valores de las incógnitas, para los cuales se verifica la igualdad.

Una ecuación puede tener una, ninguna o varias soluciones.

Por ejemplo:

1.Una Ecuación Con Una Incógnita.

3x – 7 = x + 1.

Tiene una única solución: x = 4.

2. Una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

3. Una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones.

2x + 3y = 15

Las soluciones son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

NOTA.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución. Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

Clasificación

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

a) Por el número de incógnitas.

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 3x + 4 = 10, sólo tiene una incógnita, la ecuación 3x - y = 5, tiene dos y

tiene tres incógnitas. Las ecuaciones con una incógnita se pueden imaginar como puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas en un plano. Las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

b) Por el grado de la incógnita.

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita). Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de esta forma:

Sea la ecuación: xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0

Si x1, x2, ..., xn son las soluciones de la ecuación, se cumplen las siguientes ecuaciones: x1 + x2 + ... + xn = -a1 x1x2 + x1x3+...+x1xn + x2x3+...+ x2xn + ...+ xn-1xn = a2 x1x2x3 + x1x2x4 + ...+ x1x2xn + x2x3x4 +...+ x2x3xn + ...+ xn-2xn-1xn = -a3 x1x2...xn = (-1)nan Utilizando estas ecuaciones, tendríamos un sistema de ecuaciones que nos permitiría obtener las soluciones.

c) Por el número de términos

1) Ecuaciones binómicas:

Las ecuaciones con dos términos se llaman ecuaciones binómicas.

2). Ecuaciones polinómicas:

Las ecuaciones que tienen tres términos, se llaman trinómicas, y aunque podríamos seguir llamándolas en función del número de términos, se suelen llamar polinómicas.

¿ Cómo se resuelven las ecuaciones?

Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra. D'Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que dio una demostración rigurosa.

a) Ecuaciones de primer grado y una incógnita

Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 son muy sencillas de resolver.

Pasos para resolver las ecuaciones.

1. Basta con despejar la x. Despejar la x significa dejar la x sola a un lado del signo igual.

2. Para pasar un número, o una variable, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

-Si está sumando pasa restando y si esta restando pasa sumando. En nuestro caso quedaría ax =-b

-Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa multiplicando. En nuestro caso x = -b/a.

PARA RESOLVER LA ECUACIÓN SEGUIREMOS EL SIGUIENTE ORDEN.

1º Quitar denominadores

3(2x-3)-2(5x-1)=6

Al multiplicar los dos miembros de una ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores, se obtiene otra ecuación equivalente a la primera, pero sin denominadores. Multiplicamos los dos miembros de la igualdad por 6, que es el m.c.m. de los denominadores.

2º Quitar paréntesis

Se efectuarán las operaciones indicadas, utilizando la propiedad distributiva. Quitando paréntesis queda:

6x-9 –10x+2=6

3º Transposición de términos

Se disponen todos los términos que llevan x en un miembro y los demás en el otro. Transponiendo términos queda:

6x –10x = 9 - 2 + 6

4º Reducción de términos semejantes

De este modo cada miembro de la ecuación queda con un solo término: -4x = 13

5º. Despejar la incógnita

Se dividirá ambos miembros por el coeficiente de la incógnita (se puede hacer siempre que sea a =0)

Observación. Dependiendo de la ecuación a resolver puede ocurrir que alguno de los pasos sea innecesario, se omite y se pasa al siguiente.

b) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx - c = 0, también son muy sencillas de resolver. Basta aplicar la siguiente fórmula general: Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a -b la raíz y lo dividimos por 2a.